解题思路：根据题意，设直线方程为y-2=k（x-1），由点到直线的距离公式算出它到原点的距离，结合题意建立关于k的方程，解出k值，再结合当直线与x轴垂直时，方程为x=1也符合题意，即可得到所求直线的方程．
设直线方程为y-2=k（x-1），
即kx-y+2-k=0，
∵原点到这条直线的距离为1，
∴
|−2−k|
k2+1＝1，解之得k=[3/4]
可得直线方程为[3/4]x-y+2-[3/4]=0，即3x-4y+5=0
又∵当直线的斜率不存在时，方程为x=1，到原点的距离也等于1
∴所求直线方程为3x-4y+5=0和x=1
故选：A
点评：
本题考点： 直线的一般式方程．
考点点评： 本题给出经过定点的直线到原点的距离等于1，求直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式的知识，属于基础题．