杆顶球模型：
对球在最高点时受力分析：受重力（竖直向下）,杆的拉力（竖直向下）,则这两个力的合力提供向心力.如下式：
mg+T=mv^2/R
以上这个方程中,重力式恒定的,半径也是恒定的（就是杆的长度）,还有球的质量也是一定的.当速度减小时,只能拉力T配合减小.当T减小到零以后,无力再小.此时只有重力提供向心力.如下式：
mg=mv^2/R,所以,v=√gR
以上方程中,若速度v继续减小,则杆会提供一个竖直向上的支持力（因为杆既抗拉,又抗压）,
重力和支持力的合力提供向心力,如下式：
mg-N=mv^2/R,
以上方程中,若速度减小到零,此时速度最小,支持力和重力恰好相等.
所以,杆顶球过最高点的临界条件是速度等于零.下面我解释一下过最高点的临界的意思,临界是指可行和最小两个条件的结合,式子列出来了,认为可行,速度为零确实最小,同时满足这两个条件,称之为临界.
再说说v=√gR
当球的实际速度大于这个速度的时候,我们列的受力分析的方程应该是第一个,也就是杆提供拉力；当球的实际速度小于这个速度的时候,我们列的方程应该是第三个,也就是杆提供支持力.当球的实际速度等于这个速度的时候,也就是上面的第二个方程,杆既不提供拉力,也不提供支持力.
有问题欢迎继续问.如果人在长春的话,可以见面探讨