Question

已知数列{a n }中， a 1 =1， a n+1 a n-1 = a n a n-1 + a n 2 (n∈ N +

Answer 1

（I）证明：∵

a n+1

a n =kn+1 ，

∴

a 2

a 1 = a 2 =k+1 ，

又∵ a 1 =1， a n+1 a n-1 = a n a n-1 + a n 2 (n∈ N + ，n≥2)

则a ₃a ₁=a ₂a ₁+ a 2 2 ，即

a 3

a 2 = a 2 +1 ，又

a 3

a 2 =2k+1 ，∴a ₂=2k．

∴k+1=2k，解得k=1．

（2）∵

a n+1

a n =n+1 ，∴ a n =

a n

a n-1 •

a n-1

a n-2 …

a 2

a 1 • a 1 =n•（n-1）…2•1=n!

∵ g(x)=

a n x n-1

(n-1)! =nx ^n-1

∴当x=1时， f(x)=f(1)=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2 ，

当x≠1时，f（x）=1+2x+3x ²+…+nx ^n-1．

得xf（x）=x+2x ²+3x ³+…+（n-1）x ^n-1+nx ⁿ
两式相减得（1-x）f（x）=1+x+x ²+…+x ^n-1-nx ⁿ=

1- x n

1-x -n x n

∴f（x）=

1- x n

(1-x ) 2 -

n x n

1-x

综上所述： f(x)=

n(n+1)

2 ，x=1

1- x n

(1-x) 2 -

n x n

1-x ，x≠1 ．

（3）利用（2）中f（x）的表达式，取x=2，

则 f(2)=

1- 2 n

(1-2 ) 2 -

n• 2 n

1-2 =（n-1）•2 ⁿ+1，

又

3

n g(3)= 3 n ，下面利用数学归纳法证明：不等式 f(2)＜

3

n g(3) 对n∈N ₊恒成立．

易验证当n=1，2，3时不等式恒成立；

假设n=k（k≥3），不等式成立，即3 ^k＞（k-1）2 ^k+1

两边乘以3得：3 ^k+1＞3（k-1）2 ^k+3=k•2 ^k+1+1+3（k-1）2 ^k-k2 ^k+1+2

又因为3（k-1）2 ^k-k•2 ^k+1+2=2 ^k（3k-3-2k）+2=（k-3）2 ^k+2＞0

所以3 ^k+1＞k•2 ^k+1+1+3（k-1）2 ^k-k2 ^k+1+2＞k•2 ^k+1+1

即n=k+1时不等式成立．

故不等式恒成立．