Question

如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：8=32-12，16=52-32，24=

Answer 1

解题思路：（1）根据32=9²-7²，以及8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，进行判断．

（2）利用平方差公式计算（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n•2=8n，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数；

（3）利用阴影部分面积为：2013²-2011²+2009^2-2007²+…+3²-1²，进而求出即可．

（1）32这个数是奇特数．因为32=9²-7²，

∵8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，2012不是8的倍数，

∴2012这个数不是奇特数．

（2）两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．理由如下：

（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n×2=8n．

（3）阴影部分面积为：

2013²-2011²+2009^2-2007²+…+3²-1²

=（2013+2011）×（2013-2011）+（2009+2007）×（2009-2007）+…+（3+1）×（3-1）

=2×（2013+2011+2009+2007+…+3+1）

=2×1014049

=2028098．

点评：

本题考点： 规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类．

考点点评： 本题考查了图形的变化类以及新概念和平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），利用图形正确表示出阴影部分是解题关键．