Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E为AB的中点．

Answer 1

证明：（1）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．

∵E（2，1，0），C（0，2，0），B ₁（2，2，2）

∴

E B 1 =(0， 1， 2) ，

ED =(-2， -1， 0) ．

设平面EB ₁D的法向量为

n ₁=（x，y，z），则

n 1 •

E B 1 =0

n 1 •

ED =0

即

y+2z=0

-2x-y=0 ，不妨取

n ₁=（1，-2，1）．

同理，平面B ₁CD的法向量

n ₂=（-1，0，1）．…（3分）

∵

n ₁•

n ₂=-1+1=0，∴平面EB ₁D⊥平面B ₁CD．…（4分）

（2）解由（1）得平面B ₁CD的法向量

n ₂=（-1，0，1），

又平面CDE的法向量

n =（0，0，1），∴ cos＜

m ，

n ＞=

n 2 •

n

|

n 2 |•|

n | =

1

2 •1 =

2

2 …（7分）

∴二面角E-B ₁C-D的大小为45°． …（8分）

（3）由（1）得平面B ₁CD的法向量

n ₂=（-1，0，1），又

DE =(2，1，0)

∴点E到平面B ₁CD的距离为

|

n 2 •

DE |

|

n 2 | =

2

2 =

2 …（12分）

说明：采用其它方法进行解答的，按每小题（3分），根据作答情况酌情给分．