Question

如图（1），在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2=BD•BC，该结论称为射影定理．如图（2），在三棱

Answer 1

解题思路：首先猜想出结论：(S△ABC)2＝S△DBC•S△BCD，再进行证明：在△BCD内，延长DO交BC于E，连接AE，利用线面垂直的判定与性质可以证出AE⊥BC且DE⊥BC，从而AE、EO、ED分别是△ABC、△BCO、△BCD的边BC的高线，然后在Rt△ADE中，利用已知条件的结论得到AE2=EO•ED，再变形整理得到(S△ABC)2＝S△DBC•S△BCD．

结论：(S△ABC)2＝S△DBC•S△BCD．

证明如下

在△BCD内，延长DO交BC于E，连接AE，

∵AD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴BC⊥AD，

同理可得：BC⊥AO

∵AD、AO是平面AOD内的相交直线，

∴BC⊥平面AOD

∵AE、DE⊂平面AOD

∴AE⊥BC且DE⊥BC

∵△AED中，EA⊥AD，AO⊥DE

∴根据题中的已知结论，得AE²=EO•ED

两边都乘以（[1/2]BC）²，得（[1/2]BC•AE）²=（[1/2]BC•EO）•（[1/2]BC•ED）

∵AE、EO、ED分别是△ABC、△BCO、△BCD的边BC的高线

∴S_△ABC=[1/2]BC•AE，S_△BC0=[1/2]BC•EO，S_△BCD=[1/2]BC•ED

∴有(S△ABC)2＝S△DBC•S△BCD．

故答案为：(S△ABC)2＝S△DBC•S△BCD．

点评：

本题考点： 类比推理．

考点点评： 本题以平面几何中的射影定理为例，将其推广到空间的一个正确的命题并加以证明，着重考查了类比推理和空间的线面垂直的判定与性质等知识点，属于基础题．