(1)不妨设A(0,b),B(0,-b),F1(-c,0),F2(c,0).
则：向量F1B=(c,-b),OB=(0,-b),F1F2=(2c,0)
则由已知|向量OB|,|向量F1B|,|向量F1F2|成等比数列有：|向量F1B|^2=|向量OB|*|向量F1F2|,即：b^2+c^2=b*(2c) ===> b=c
又由向量F1F2*向量F1B=2可得：2c^2=2 ===> c=1
而：a^2=b^2+c^2
联立上述三式可解得：a=√2,b=c=1
椭圆方程为：x^2/2+y^2=1
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则向量AM=(x1,y1-1),AN=(x2,y2+1),由k1*k2=3/2可得：
(y1-1)(y2+1)/x1x2=3/2 ---(A)
设直线L方程为：y=kx+m.次问即求证m等于一个定值.
与椭圆方程联立消去y化简并整理可得：(2k^2+1)x^2+4kmx+2m^2-2=0
则由韦达定理有：x1+x2=-4km/(2k^2+1) x1*x2=2(m^2-1)/(2k^2+1)
将(A)式中的y用直线方程L中的x代替并化解整理可得：
3x1x2=2*{k^2x1x2+km(x1+x2)+m^2-2+2k√[(x1+x2)^2-4x1x2]}
将韦达定理带入上式可得到一个k与m的关系式（超级复杂,我试了一下也没最后化解出k与m的简单关系）,理论上讲在直线L的方程中得到了这个关系式就可以判定L必过的定点坐标.
(3)设M(x1,y1),N(x2,y2),
因为M和N在椭圆上可得：x1^2/2+y1^2=1 和 x2^2/2+y2^2=1 两式相减可得：
(y1-y2)/(x1-x2)=-(1/2)*[(x1+x2)/(y1+y2)] ---(B)
设直线L的方程为：y=kx+m,中点G的坐标为(x0,y0),则(B)式可化为：k=-(1/2)*x0/y0 ---(C)
中点G在四边形F1AF2B内（包括边界）时,就是分别求出线段AF1、AF2、BF1、BF2的直线方程,分别为：y=x+1,y=-x+1,y=-x-1,y=x-1.由线性规划可知点G(x0,y0)需满足以下不等式组：-1