Question

函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,当x=-1时,取得极大值8,当x=2时,取得极小值-19

Answer 1

f'(x)=3ax^2+2bx+c

由题意,x=-1,2分别为f'(x)=0的两个根,且a>0

两根和=1=-2b/(3a),得b=-1.5a

两根积=-2=c/(3a),得c=3a

f(-1)=-a+b-c+d=-a-1.5a-3a+d=-5.5a+d=8

f(2)=8a+4b+2c+d=8a-6a+6a+d=8a+d=-19

两式相减得：-2.5a=27,得a=-10.8

故d=5.5a+8=-51.4

因此f(x)=-10.8x^3+16.2x^2-32.4x-51.4

在区间[-2,3],端点值f(-2)=164.6,f(3)=-294.4

比较极值及端点值得最大值为f(-2)=164.5,最小值为f(3)=-294.4