Question

（2014•临沂二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=[3/2]an-n．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据条件结合等比数列的定义，利用构造法即可证明数列{a_n+1}是等比数列；

（Ⅱ）利用裂项法求出b_n，然后利用数列和不等式之间的大小关系即可得到结论．

（Ⅰ）当n=1，a₁=S₁=[3/2]a₁-1，即a₁=2，

当n≥2时，由S_n=[3/2]a_n-n．得S_n-1=[3/2]a_n-1-n+1．

两式相减得S_n-S_n-1=[3/2]a_n-[3/2]a_n-1-1=a_n-1．

即a_n=3a_n-1+2，

则a_n+1=3（a_n-1+1），

即数列{a_n+1}是公比q=3的等比数列，首项为a₁+1=3．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，

则log₃（a_n+1）=log₃3ⁿ=n，

即b_n=log₃（a₁+1）+log₃（a₂+1）+…+log₃（a_n+1）=1+2+…+n=

n(n+1)

2，

则[1

bn＝

2

n(n+1)＝2（

1/n]-[1/n+1]），

则[1

b1+

1

b2+…+

1

bn=2（1-

1/2+

1

2−

1

3+…

1

n]-[1/n+1]）=2（1-[1/n+1]），

若[1

b1+

1

b2+…+

1

bn≥

m/4]都成立，

则2（1-[1/n+1]）≥[m/4]都成立，

即m≤8（1-

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合．

考点点评： 本题主要考查等比数列的通项公式，利用裂项法求前n项和的应用，考查数列与不等式的应用，综合性较强，运算量较大．