Question

已知α、β都是锐角，且 sinβ sinα =cos（α+β）．

Answer 1

证明：∵tanβ=

sinβ

cosβ =

sinαcos(α+β)

cosβ =

sinα(cosαcosβ-sinαsinβ)

cosβ =sinαcosα-sin ²αtanβ

∴（1+sin ²α）tanβ=sinαcosα

∴tanβ=

sinαcosα

1+si n 2 α =

tanα

1+si n 2 α

co s 2 α =

tanα

co s 2 α+2si n 2 α

co s 2 α =

tanα

1+2ta n 2 α

（2）∵tanα＞0，tanβ＞0

∴tanβ=

1

1

tanα +2tanα ≤

1

2

2

当且仅当

1

tanα =2tanα ，即tanα=

2

2 时，

tanβ _max=

2

2

1+2×

1

2 =

2

4

∴tan（α+β）=

2

2 +

2

4

1-

2

2 ×

2

4 =

3

2

4 ×

4

3 =

2