Question

证明垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍,THX

Answer 1

这里不方便画图,我就用文字来表达了

画任意一个三角形ABC,垂心为D,外心为E,设B垂AC于F,

C垂AB于H,做△ABC的外接圆,ABC为三顶点abc为三内角

S为△ABC的面积

由正弦定理AB/sinc=BC/sina=AC/sinb=2R

由图像得∠c=∠BEH

∴EH=Rcosc=AB/(2tanc)

CD=CF/cos∠ACH=BCcosc/(CH/AC)=AC*BC*cosc/CH

AC*BCsinc/2=S=AB*CH/2

代入上式得CD=AB/tanc=2DH

∴命题得证