解题思路:(Ⅰ)先求出函数的导数,再对a讨论,分a≤0,a>0两种,再分别求出单调区间;
(Ⅱ)运用(Ⅰ)的结论,当a≤0时,显然成立;当a>0时,求出函数的极大值、极小值,由条件知极大值小于0或极小值大于0,解出不等式求并集即可.
(Ⅰ)函数f(x)的导数f'(x)=3x2-3a,
(1)当a≤0时,f'(x)≥0恒成立,此时f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
(2)当a>0时,令f'(x)=0,得x=±
a,
令f'(x)>0,得x<−
a或x>
a
令f'(x)<0,得−
a<x<
a
∴f(x)在(−∞,−
a)和(
a,+∞)上是增函数,
在[−
a,
a]上是减函数;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
(1)当a≤0时,f(x)在区间(-∞,+∞)单调递增,所以题设成立,
(2)当a>0时,f(x)在x=−
a处达到极大值,在x=
a处达到极小值,
此时题设成立等价条件是f(−
a)<0或f(
a)>0,
即:(−
a)3−3a(−
a)+2a<0或(
a)3−3a(
a)+2a>0,
即:−a
a+3a
a+2a<0或a
a−3a
a+2a>0,
解得:0<a<1,
由(1)(2)可知a的取值范围是(-∞,1).
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题是导数在函数中的综合应用,要掌握运用导数求单调区间,求极值,同时一定要掌握分类讨论的重要数学思想方法在解题中的正确运用.