Question

已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），a1，a2，a4恰为等比数列{bn]的前3项，且b4=8

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件推导出

(

a

1

+d

)

2

＝

a

1

(

a

1

+3d

)

2

，解得a₁=d，从而得到数列{b_n}的公比为2，又b₄=8，解得d=1，由此能求出a_n=n，

b

n

＝

2

n−1

．

（2）由

c

n

＝

a

n

b

n

＝n•

2

n−1

，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

（1）∵差数列{a_n}的公差为d（d≠0），

a₁，a₂，a₄恰为等比数列{b_n]的前3项，

∴(a1+d)2＝a1(a1+3d)2，解得a₁=d，

∴数列{b_n}的公比为2，又b₄=8，∴8d=8，解得d=1，

∴a_n=n，bn＝2n−1．

（2）cn＝anbn＝n•2n−1，

Sn＝1•20+2•2+3•22+…+n•2n−1，①

2S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②

①-②，得-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ

=

1−2n

1−2−n•2n

=（1-n）•2ⁿ-1，

∴Sn＝(n−1)•2n+1．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．