反证法,若AC≠BD,不妨假设AC＞BD,在AC上取一点C',使AC'=BD,连接BC'交AD于点O',则O'必然在线段AO上.如下图.
∵C'E=C'A+AE=BD+BE=ED,AE=BE,∠E为公共角,∴ΔEC'B≌ΔEDA（角边角）于是∠1=∠D.∵∠AO'C'=∠BO'D(对顶角),∠1=∠D,AC'=BD,于是ΔAC'O'≌ΔBDO'（角角边）于是C'O'=O'D.
过点O作C'O'平行线交CC'于点M,如下图.
由于C'O':MO=AO':AO＜1,即C'O'＜MO,而C'O'=O'D＞OD=OC,∴MO＞OC根据三角形“大边对大角”原理,在ΔOMC中,∠C＞∠CMO,则∠CMO必然为锐角.于是∠1=∠AMO=180°-∠CMO必然为钝角.于是∠D=∠1也是钝角.但是∠1、∠D都位于ΔEC'D之中,∠1＜∠EC'D,∠D＜∠EDC',所以∠1+∠D＜∠AC'D+∠EDC'＜180°,这与∠1、∠D都是钝角相矛盾.
于是AC≠BD的假设不成立.