解题思路：（1）根据一元二次方程x2-2（k+1）x+k2-2k-3=0有两个不相等的实数根，可知根的判别式△＞0，即可求出k的取值范围；
（2）根据k的取值范围可得当k=0时，为k最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（3）（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：
①直线经过原二次函数与x轴的交点A（即左边的交点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；
②原二次函数图象x轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式△=0，根据这一条件可确定m的取值．
（1）由题意，得△=4（k+1）2-4（k2-2k-3）=16k+16＞0，
∴k＞-1，
∴k的取值范围为k＞-1；
（2）∵k＞-1，且k取最小的整数，∴k=0．
∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
则抛物线的顶点坐标为（1，-4），
∵y=x2-2x-3的图象与x轴相交，
∴0=x2-2x-3，
∴解得：x=-1或3，
∴抛物线与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）；
（3）翻折后所得新图象如图所示．
平移直线y=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l1时，此时l1过点A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1．
②当直线位于l2时，此时l2与函数y=-x2+2x+3的图象有一个公共点，
∴方程x+m=-x2+2x+3，
即x2-x-3+m=0有两个相等实根，
∴△=1-4（m-3）=0，
即m=[13/4]．
当m=[13/4]时，x1=x2=[1/2]满足-1≤x≤3，
由①②知m=1或m=[13/4]．
点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．
考点点评： 此题考查了二次函数图象与坐标轴交点及顶点坐标的求法、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．