Question

如图1,△ABC中,DE‖BC,EF‖AB,若BF=a,FC=b,DE与BC间的距离为h,请证明S²=4S1S

Answer 1

虫VS虫虫：

如图1

证明：

∵DE‖BC,EF‖AB,

∴四边形DBFE为平行四边形,∠AED=∠C,∠A=∠CEF,

∴△ADE∽△EFC

∴S2/S1=(DE/FC)²=a²/b²

∵S1=1/2bh

∴S2=(a²/b²)×S1=(a²h)/(2b)

∴4S1S2=4×(1/2bh)×[(a²h)/(2b)]=(ah)²

而S=ah,

∴S²=4S1S2

如图2

过点G作GH‖AB交BC于H,则四边形DBHG为平行四边形

∴∠GHC=∠B,BD=HG,DG=BH,

∵四边形DEFG为平行四边形,

∴DG=EF,

∴BH=EF

∴BE=HF,

∴△DBE≌△GHF,

∴△GHC的面积为5+3=8,

由(2)得,平行四边形BDGH的面积为2√(2×8)=8

∴△ABC的面积为2+8+8=18