具体证明过程相当复杂,你最好查阅相关书籍,很多大学线性代数教材里应该都有,简明步骤如下：
1）证明所有特征根为实数,每个根都有他的重复数目(解方程lambda*I-A=0).
2）对于每个根m,方程m*I-A=0的秩不会超过在方程lambda*I-A=0里根m重复的数目.
3）对于每个根m,方程m*I-A=0的秩等于在方程lambda*I-A=0里根m重复的数目,因此相同特征根的特征向量可以Schmitt方法整成互相正交的.
4）不同特征根的特征向量是相互正交的.
5）把相互正交的特征向量排列好后,就是T,然后T'AT=diag(d1,d2,...,dn).
你也可以查阅Cholesky分解,Hermitian矩阵等名词.