解题思路:(1)连结CM,在RT△ACM中,利用勾股定理求出CM的长即可求出△ACE的面积;
(2)△FMH是等腰直角三角形,连结BM,DM,首先证明四边形四边形BCDM是边长1的菱形,设∠A=α,则∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α,∠MDC=2α.利用三角形的内角和证明∠FMH=180°-∠AMH-∠CMH=180°-(α+θ)=90°即可;
(3)作△HMD的边MD上的高HQ,则由勾股定理有求出DQ的长,再利用三角形的面积公式即可求出△FMH的面积.
(1)连结CM,
∵CA=CE=2,M分别是边AE的中点,
∴CM⊥AE.…(1分)
在RT△ACM中,AM=
1
2AE=c,
由勾股定理得,CM=
AC2−AM2=
4−c2.
∴S△ACE=[1/2]AE•CM=c
4−c2.…(2分)
(2)△FMH是等腰直角三角形.…(3分)
证明:连结BM,DM.∵CA=CE=2,
点B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点,∴BC=CD=BM=DM=1.…(4分)
∴四边形BCDM是边长为1的菱形,
∴∠CBM=∠CDM.
∴∠CBM+∠FBC=∠CDM+∠HDC,即∠FBM=∠HDM,
∴△FBM≌△MDH.…(4分)
∴FM=MH,且∠FMB=∠HMD(设大小为θ).
又设∠A=α,则∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α,∠MDC=2α.
在△MDH中,DM=DH=1,
∴∠DHM=∠DMH=θ,
由三角形内角和定理可有:∴∠DHM+∠DMH+∠MDH=180°,
得:θ+θ+2α+90°=180°,
∴α+θ=45°.…(5分)
∴∠FMH=180°-∠AMH-∠CMH=180°-2(α+θ)=90°.
∴△FMH是等腰直角三角形. …(6分)
(3)在等腰△ACE中,∠ACE=180°-2α,
又当∠GCN=30°时,∠ACE=360°-∠GCN=180°-30°=150°
从而有:180°-2α=150°,又α+θ=45°,得θ=30°,α=15°.…(7分)
如图,作△HMD的边MD上的高HQ,则由勾股定理有:
DQ=
1
2DH=
1
2,HQ2=DH2−DQ2=12−(
1
2)2=
3
4MQ=1+
1
2=
3
2,MH2=MQ2+HQ2=
9
4+
3
4=3…(8分)
∴△FMH的面积S△FMH=
1
2FM×HM=
1
2HM2=
3
2
点评:
本题考点: 圆的综合题.
考点点评: 本题考查了勾股定理的运用、菱形的判定、等腰直角三角形的判定、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质,题目的综合性强难度大.解题的关键是作△HMD的边MD上的高HQ,构造直角三角形.