Question

如何证明三点共线时两向量前得系数相加等于1

Answer 1

设A、B、C三点共线,O是平面内任一点.

因为A、B、C共线,所以存在非零实数k,使

AB=kAC

即 OB-OA=k(OC-OA)

所以 OB=kOC+(1-k)OA

[注：两个系数和 k+1-k=1]

反之,若存在实数x,y 满足 x+y=1,且OA=xOB+yOC

则 OA=xOB+(1-x)OC

OA-OC=x(OB-OC)

所以 CA=xCB

因此,向量CA与CB共线,

又由于 CA、CB有公共点C

所以,A、B、C三点共线