解题思路：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，然后求出∠2=∠C，再根据等角对等边可得BE=CE，结合图形AC-CE=AE即可得到①正确；延长AD交BC与F，利用“角边角”证明△ABD和△FBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠AFB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式即可得到∠BAD-∠C=∠DAE，从而的得到②正确；根据直角三角形两锐角互余用∠C表示出∠BAD，再代入②整理可得∠DAE=90°-2∠C，得到③错误；取CF的中点G，连接DG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DG∥AC，AC=2DG，再根据两直线平行，同位角相等可得∠C=∠3，然后求出∠2=∠3，根据等角对等边可得BD=DG，从而得到AC=2BD，判定④正确．
∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠2=∠C，
∴BE=CE，
∵AC-CE=AE，
∴AC-BE=AE，故①正确；
延长AD交BC与F，
∵AD⊥BE，
∴∠ADB=∠FDB=90°，
∵在△ABD和△FBD中，
∠ADB＝∠FDB＝90°
BD＝BD
∠1＝∠2，
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴∠BAD=∠AFB，
在△ACF中，∠DAE=∠AFB-∠C，
∴∠BAD-∠C=∠DAE，故②正确；
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠1=90°-∠C，
∴90°-∠C-∠C=∠DAE，
∴∠DAE=90°-2∠C，故③错误；
取CF的中点G，连接DG，则DG是△ACF的中位线，
∴DG∥AC，AC=2DG，
∴∠C=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BD=DG，
∴AC=2BD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④．
故选C．
点评：
本题考点： 等腰三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，本题难点在（4），作辅助线，利用三角形的中位线定理是解题的关键．