解题思路：（1）由题意可得b-a-c=0，函数f（x）=3ax2+2bx+c，且f（0）f（1）=c•（3a+2b+c）≤0，化简可得3
(
b
a
)
2
-[b/a]-2≤0，由此求得 [b/a]的取值范围．
（2）化简|x1-x2|的解析式为
4
9
(
b
a
−
3
2
)
2
+
1
3
，故a=b时，
|
x
1
−
x
2
|
2
取最小值，即|x1-x2|取最小值，此时，g（x）=ax3+ax2f（x）=3ax2+2ax．分a＞0和a＜0两种情况分别求出极大值和极小值，根据g（x）的极大值比极小值大[4/3]，求g（x）的解析式．x1+x2
（1）由题意可得b-a-c=0，函数f（x）=3ax2+2bx+c，且f（0）f（1）=c•（3a+2b+c）≤0．
化简可得 3b2-ab-2a2≤0．
∵a≠0，∴3(
b
a)2-[b/a]-2≤0． 解得-[2/3]≤[b/a]≤1，故 [b/a]的取值范围是[−
2
3，1]． …（4分）
（2）∵|x1−x2|2=(x 1+x 2)2-4x1•x2=(−
2b
3a)2-4（[b/3a−
1
3]）=[4/9] (
b
a−
3
2) 2+[1/3]，
∵−
2
3≤
b
a≤1，故当 [b/a＝1，即a=b时，|x1−x2|2取最小值，即|x1-x2|取最小值．…（7分）
此时，g（x）=ax3+ax2f（x）=3ax2+2ax．
当a＞0时f（x）在 (−∞，−
2
3)上是增函数，在(−
2
3，0) 上是减函数，在（0，+∞） 上是增函数．
g（x）的极大值为g(−
2
3)＝
4
27a，极小值为g（0）=0．
由题意
4
27a−0＝
4
3]，a=9，此时g（x）=9x3+9x2．…（10分）
当a＜0时，f（x）在 在 (−∞，−
2
3)上是减函数，在(−
2
3
点评：
本题考点： 根与系数的关系；导数的运算；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的极值，方程的根与系数的关系，倒数的运算，属于中档题．