Question

已知数列{an}的首项a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：Sn2=3n2an+Sn-12，an≠0，n≥2，

Answer 1

解题思路：（1）分别令n=2，n=3，及a₁=a，结合已知可由a表示a₂，a₃，结合等差数列的性质可求a，

（2）由

S

2

n

=3n²a_n+

S

2

n−1

，得

S

2

n

-

S

2

n−1

=3n²a_n，两式相减整理可得所以S_n+S_n-1=3n²，进而有S_n+1+S_n=3（n+1）²，两式相减可得数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，结合数列的单调性可求a

（1）在

S2n=3n²a_n+

S2n-1中分别令n=2，n=3，及a₁=a

得（a+a₂）²=12a₂+a²，（a+a₂+a₃）²=27a₃+（a+a₂）²，

因为a_n≠0，所以a₂=12-2a，a₃=3+2a．…（2分）

因为数列{a_n}是等差数列，所以a₁+a₃=2a₂，

即2（12-2a）=a+3+2a，解得a=3．…（4分）

经检验a=3时，a_n=3n，S_n=

3n(n+1)

2，S_n-1=

3n(n-1)

2

满足

S2n=3n²a_n+

S2n-1．

（2）由

S2n=3n²a_n+

S2n-1，得

S2n-

S2n-1=3n²a_n，

即（S_n+S_n-1）（S_n-S_n-1）=3n²a_n，

即（S_n+S_n-1）a_n=3n²a_n，因为a_n≠0，

所以S_n+S_n-1=3n²，（n≥2），①…（6分）

所以S_n+1+S_n=3（n+1）²，②

②-①，得a_n+1+a_n=6n+3，（n≥2）．③…（8分）

所以a_n+2+a_n+1=6n+9，④

④-③，得a_n+2-a_n=6，（n≥2）

即数列a₂，a₄，a₆，…，及数列a₃，a₅，a₇，…都是公差为6的等差数列，…（10分）

因为a₂=12-2a，a₃=3+2a．

∴a_n=

a，n=1

3n+2a-6，n为奇数且n≥3

3n-2a+6，n为偶数…（12分）

要使数列{a_n}是递增数列，须有a₁2，且当n为大于或等于3的奇数时，a_n

n+1，

且当n为偶数时，a_n

n+1，即a<12-2a，

3n+2a-6<3（n+1）-2a+6（n为大于或等于3的奇数），

3n-2a+6<3（n+1）+2a-6（n为偶数），

解得[9/4]

所以M=（[9/4]，[15/4]），当a∈M时，数列{a_n}是递增数列．…（16分）

点评：

本题考点： 等差关系的确定；数列的函数特性；数列的应用．

考点点评： 本题主要考查了等差数列的性质的应用，数列的单调性的应用，属于知识的综合应用．