在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于D,E(图甲),沿DE将△ADE折起

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  • (Ⅰ)证明:取BD的中点为M,连接FM,CM,

    ∵F为AB的中点,则MF∥AD,

    由题知△BCD为等边三角形,

    ∴CM⊥BD,

    又DE⊥BD,

    ∴CM∥DE,

    ∴面CFM∥面ADE,CF

    面CMF,

    ∴CF∥面ADE。

    (Ⅱ)证明:由平面几何知识:BE⊥CD,AD⊥DE,平面ADE⊥平面BDEC,

    ∴AD⊥平面BDEC,

    ∴AD⊥BE,

    ∴BE⊥面ACD,BE

    面PBE,

    ∴平面ACD⊥平面PBE。

    (Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)BE⊥面ACD,设BE∩CD=Q,

    由题知BE⊥CD,BE⊥PQ,

    ∴PQC为二面角P-BE-C的平面角, AD=CD,

    ∴∠ACD=45°,

    ∴△ACD∽△CPQ,∠PQC=45°,

    ∴二面角P-BE-C的大小为45°。

    解法二:建立空间直角坐标系{DE,DB,DA},

    ,则

    ∵AC⊥面PBE,AD⊥面BCED,

    设二面角P-BE-C的大小为θ,

    ∴二面角P-BE-C的大小为45°。