Question

已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）直接利用前n项和公式及等比中项求出数列的通项公式．

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论及等差数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出新数列的前n项和．

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，a₁＞0，S₄，S₂，S₃成等差数列，

则：2S₂=S₃+S₄

2

a1(1-q2)

1-q=

a1(1-q3)

1-q+

a1(1-q4)

1-q

解得：q=-2或1（舍去）

由于：16是a₂和a₈的等比中项

a2a8=162

解得：a₁=1

所以：an=a1qn-1=(-2)n-1

（Ⅱ）等差数列{b_n}中，设公差为d，b₁=1，前9项和等于27．

则：S9=9b1+

9×8

2d=27

解得：d=[1/2]

所以：bn=

n+1

2

令c_n=2a_nb_n=2(-2)n-1

n+1

2=（n+1）（-2）^n-1

T_n=c₁+c₂+…+c_n-1+c_n=2•（-2）⁰+3•（-2）¹+…+（n+1）（-2）^n-1①

-2T_n=2•（-2）¹+3•（-2）²+…+（n+1）（-2）ⁿ②

①-②得：3Tn=2+[(-2)1+(-2)2+…+(-2)n-1]-（n+1）（-2）ⁿ

解得：Tn=

4

9-

n

9(-2)n

点评：

本题考点： A:数列的求和 B:等比数列的通项公式 C:等差数列与等比数列的综合

考点点评： 本题考查的知识要点：等比数列通项公式和前n项和公式，等差数列的通项公式和前n项和公式，利用乘公比错位相减法求数列的和及相关的运算问题