Question

如图为消化系统部分示意图，据图回答：

Answer 1

解题思路：（1）：由已知可得a_n+1+1=2（a_n+1），结合等比数列的通项公式可求

（2）由

c

n

＝

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

−

1

2n+3

)

，考虑利用裂项求和可求T_n，然后代入（2n+3）T_n•b_n=n•2ⁿ，再利用错位相减求和即可求解

（1）：∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1，

∴a_n+1+1=2（a_n+1）

∴

an+1+1

an+1＝2且a₁+1=2

∵b_n=a_n+1，

∴

bn+1

bn＝2且b₁=2

∴{b_n}是以2为首项以2为公比的等比数列

∴bn＝2n

（2）∵cn＝

1

(2n+1)(2n+3)=[1/2(

1

2n+1−

1

2n+3)

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2(

1

3−

1

5+

1

5−

1

7+…+

1

2n+1−

1

2n+3)

=

1

2(

1

3−

1

2n+3)=

n

2n+3]

∴（2n+3）T_n•b_n=n•2ⁿ

∴Qn＝1•2+2•22+…+n•2n

2Q_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹

两式相减可得，-Qn＝2+22+…+2n−n•2n+1=

2(1−2n)

1−2-n•2ⁿ⁺¹=（2-n）•2ⁿ⁺¹-2

∴Qn＝(n−2)•2n+1+2

点评：

本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．

考点点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式an+1=pan+q构造等比数列求解数列的通项公式及错位相减求解数列的和，属于数列知识的综合应用．