Question

在直角三角形ABC中,AD是斜边BC上的高,用向量法证明:AD05=BD*DC

Answer 1

是 |AD|^2=|BD|*|DC|吗?

以下"."表示点乘.

证明：由已知, AB垂直于AC,AD垂直于BC,

所以 AB.AC=0,

AD.DB=0,

AD.DC=0.

又因为 AB=AD+DB,

AC=AD+DC,

所以 0=(AD+DB).(AD+DC)

=AD^2+AD.DC+DB.AD+DB.DC

=AD^2+DB.DC.

所以 AD^2= -DB.DC =BD.DC.

又因为 BD,DC共线,

所以 |AD|^2=|BD|*|DC|.

证法2: 令 AD=a,DB=b,DC=c,(三个都是向量).

则 AB=AD+DB=a+b,

AC=AD+DC=a+c.

因为 a垂直于b,a垂直于c,

所以 a.b=0,a.c=0.

又因为 AB垂直于AC,

所以 0=(a+b).(a+c)

=a^2+a.c+b.a+b.c

=a^2+b.c

所以 a^2= -b.c.

又因为 b,c共线,

所以 |a|^2=|b||c|.

即 |AD|^2=|BD||DC|.