解题思路：（1）由已知得x＞0，f′（x）=lnx+1，由此能求出y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程．
（2）由f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=[1/e]，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[a，2a]上的最小值．
（3）记h（x）=f（x）-（k-1）x+k=xlnx-（k-1）x+k，x＞1，则h′（x）=lnx+2-k，x＞1，由此利用导数性质能求出k的最大值．
（1）∵f（x）=x•lnx，
∴x＞0，f′（x）=lnx+1，
∵f（e）=e，f′（e）=2，
∴y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程为：y=2（x-e）+e，
即y=2x-e．
（2）∵f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=[1/e]，
当x∈（0，[1/e]）时，F′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（[1/e，+∞）时，F′（x）＞0，f（x）单调递增，
当a≥
1
e]时，f（x）在[a，2a]单调递增，[f（x）]min=f（a）=alna，
当[1/2e＜a＜
1
e]时，a＜[1/e＜2a，[f（x）]min=f（
1
e]）=-[1/e]．
（3）记h（x）=f（x）-（k-1）x+k=xlnx-（k-1）x+k，x＞1，
则h′（x）=lnx+2-k，x＞1，
当k≤3且k∈Z时，h（x）在x∈（1，+∞）上为增函数，
∴h（x）＞h（1）=1＞0，符合．
当k≥4且k∈Z时，h（x）在x∈（1，ek-2）上为减函数，在x∈[ek-2，+∞）上为增函数，
∵k≥4，∴k-2≥2，∴2∈（1，ek-2]，
∴h（2）=2ln2+2-k＜2+2-k≤0，不符合．
综上，k≤3且k∈Z，∴k的最大值是3．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查切线方程的求法，考查函数的最小值的求法，考查实数的最大值的求法，解题时要注意构造法和导数的几何意义的合理运用．