Question

（2013•河南模拟）如图，已知等边△ABC，D是边BC的中点，过D作DE∥AB于E，连接BE交AD于D1；过D1作D1

Answer 1

解题思路：根据D是边BC的中点，过D作DE∥AB，得到E为AC的中点，BE⊥AC，设△ABC的高是h，根据三角形的面积公式求出s₁=[1/2]•[1/2]BC•[1/2]AD=[1/4]s=

s

(1+1)

2

，根据DE∥AB，D₁E₁∥AB，得到

B

D

1

D

1

E

=[AB/DE]=2=

A

E

1

E

1

E

，求出s₂=

s

(1+2)

2

，同理s₃=[1/16]s=

s

(1+3)

2

，进而得出s_n=

s

(n+1)

2

，即得到答案．

∵D是边BC的中点，过D作DE∥AB，

∴E为AC的中点，BE⊥AC，

设△ABC的高是h，

过E作EM⊥BC于M，

∵BD=DC，DE∥AB，

∴AE=EC，

∵AD⊥BC，EM⊥BC，

∴AD∥EM，

∴DM=MC，

∴EM=[1/2]AD=[1/2]h，

∴s₁=[1/2]•[1/2]BC•[1/2]AD=[1/4]s=

s

(1+1)2，

∵DE∥AB，D₁E₁∥AB，

∴

BD1

D1E=[AB/DE]=2=

AE1

E1E，

∴s₂=[1/2]•[1/3]AE•h-[1/2]•[1/3]AE•[1/3]h=[1/9]s=

s

(1+2)2，

同理s₃=[1/16]s=

s

(1+3)2，

…

s_n=

s

(n+1)2，

故答案为：

s

(n+1)2．

点评：

本题考点： 等边三角形的性质；三角形的面积；平行线分线段成比例；相似三角形的性质．

考点点评： 本题主要考查对三角形的面积，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据求出的结果找出规律是解此题的关键．