Question

已知数列an和bn满足:a1=k,a(n+1)=(2an/3)+n-4,bn=(-3n+21+an)×(-1)^n,其中

Answer 1

待定系数法求an令a(n+1)-x（n+1）-y=2/3(an-xn-y）展开得a（n+1)=(2an/3)+(xn/3)+[x+(y/3)]由a(n+1)=(2an/3)+n-4得x/3=1,[x+(y/3)]=-4解得x=3,y=-21,所以a（n+1)-3（n+1)+21=2/3(an-3n+21)设cn=an-3n+21可得c（n+1)=2cn/3易得cn=c1*(2/3)^(n-1)=(a1-3+21)(2/3)^(n-1)=(k+18)(2/3)^(n-1)当k=-18时,cn=0,即an-3n+21=0,所以an=3n-21bn=0,所以sn=0不和题意,所以k≠-18所以an-3n+21=(k+18)(2/3)^(n-1),所以an=(k+18)(2/3)^(n-1)+3n-21代入bn得,bn=[(k+18)(2/3)^(n-1)](-1)^n=-(k+18)(-2/3)^(n-1)所以sn=-（k+18)[1+(-2/3)+(-2/3)^2+...+(-2/3)^(n-1)]=-3（k+18)｛[1-(-2/3)^n]/5｝由于1-（-2/3)^n＞0恒成立,所以要使得0＜a＜Sn＜b,则k+18＜0,k＜-18当n=1时,1-（-2/3)^n最大,即sn最大,为-3（k+18)｛[1-(-2/3)^1/5｝=-k-18＜b,解得k＞-b-18当n=2时,sn最小,为-3（k+18)｛[1-(-2/3)^2/5｝=-（k+18）/3＞a,解得k＜-3a-18当-3a-18＞-b-18时,即b＞3a时,-b-18＜k＜-3a-18,a＜b≤3a时,k无解综上,当-b-18＜k＜-3a-18,且b＞3a时,可以使得对任意正整数n,都有a＜Sn＜