Question

4,过P(负根三,0)作一直线l交椭圆E:11x2+y2=9于M,N两点,问l的倾斜角多大时,以M,N为直径的圆过原点

Answer 1

设L方程为 y=k(x+√3),代入椭圆方程得 11x^2+[k(x+√3)]^2=9,

化简得 (k^2+11)x^2+2√3k^2*x+3k^2-9=0,

设M（x1,y1）,N（x2,y2）,

则 x1+x2=-2√3k^2/(k^2+11),x1*x2=(3k^2-9)/(k^2+11),

因为以MN为直径的圆过原点,所以OM丄ON

即 x1x2+y1y2=0, （1）

由于 y1y2=k(x1+√3)*k(x2+√3)=k^2[x1x2+√3(x1+x2)+3],

因此,由（1）得 (3k^2-9)/(k^2+11)+k^2*[(-3k^2-9)/(k^2+11)+3]=0,

解得 k=±√3/3,

因此,L的倾斜角为 π/6 或 5π/6 .