用反证法,假如有某些正整数不属于A,那么设这些正整数中最小的为x,根据假设 所有小于x的自然数都属于A
可以知道x²不属于A,否则与(2)矛盾.
那么x+1也不属于A否则由于x-1属于A则有
(x-1)(x+1)+1=x²属于A矛盾.
因此(x+1)-1=x是质数或质数的平方,否则令x=pq,(p,q>1,p不等于q)则有p,q3在A中
易知所有被3整除的数都不在A中,同时4不能在A中
否则有2*4+1=9在A中 矛盾.因此4的倍数不在A中.可以推知2r+1,4r+3,(2r+1)(4r+3)+1=8r²+10r+4,16r²+20r+9,(4r+3)(16r²+20e+9)+1能被4整除.因此矛盾出现.
若x=4.
则1,2,3在A中.同样可以推出7,22,22*2+1=45.3*45+1=136在A中能被4整除.
若x=5.
则1,2,3,4在A中.7=2*3+1在A中,15=2*7+1在A中而15能被5整除.导出矛盾.
到这里就得证了..主要是特例讨论浪费了太多时间.其实是个数论问题.