可能是猜想比较困难.
先计算：a1=1,a2=8/3=3- 1/3,a3=23/4=6- 1/4,a4=59/5=12-1/5,… ,
猜想：an=3×2^(n-2) - 1/(n+1) ……………………………… （1）
证明：n=1时,由（1）计算得：a1=3/2-1/2=1,与已知相符,即（1）式成立.
假设 n=k 时（1）式成立,有ak=3×2^k(k-2)-1/(k+1),
那么 n=k+1 时,由已知 an=2an-1 + （n+2）/n(n+1)
可得 a(k+1)=2ak + （k+1+2）/(k+1)(k+2),再代入归纳假设：
a(k+1)=3×2^(k-1)-2/(k+1) + （k+1+2)/(k+1)(k+2)
=3×2^(k-1) + (-2k-4+k+3)/(k+1)(k+2)
=3×2^(k-1)-2/(k+2)=3×2^[(k+1)-2] - 2/[(k+1)+1]
即：n=k+1 时,（1）式也成立.
综上可知,an=3×2^(n-2) - 1/(n+1)成立.
不用数学归纳法也可以：
由 an=2an-1 + （n+2）/n(n+1)=2an-1 + 2/n - 1/(n+1)
得 an + 1/(n+1)=2(an-1 + 1/n)
于是 数列{an + 1/(n+1)}是等比数列.以下略.