Question

设M=｛a l a=x²-y²,x,y∈Z｝.求证：(1)2k-1∈M(其中k∈Z) (2)4k-2

Answer 1

1、

a是奇数时

a=1×a

a=(x+y)(x-y)

则令x-y=1

x+y=a

x=(a+1)/2,y=(a-1)/2

a是奇数则a+1和a-1是偶数

所以他一定有整数解

所以所有的奇数都属于M

即2k-1∈M

2、

a=(x+y)(x-y)

因为x+y和x-y都是奇数或都是偶数

a是偶数时

则x+y和x-y都是偶数

即x+y=2m,x-y=2n

所以a=4mn,是4的倍数

而4k-2除以4余2,不是4的倍数

所以4k-2不属于M

3、

a=x²-y²

b=p²-q²

则ab=x²p²-x²q²-p²y²+q²y²

=(x²p²+2xypq+q²y²)-(x²q²+2xypq+p²y²)

=(xp+yq)²-(xp-yq)²

即仍是平方差

所以其积仍属于M