Question

（2008•安徽）设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数

Answer 1

解题思路：（1）先证明必要性：a₂∈[0，1]⇒c∈[0，1]，再证明充分性：设c∈[0，1]，对n∈N^*用数学归纳法证明a_n∈[0，1]．

（2）设

0＜c＜

1

3

，当n=1时，a₁=0，结论成立．当n≥2时，a_n=ca_n-1³+1-c，1-a_n=c（1-a_n-1）（1+a_n-1+a_n-1²），所以1+a_n-1+a_n-1²≤3且1-a_n-1≥0，由此能够导出a_n≥1-（3c）^n-1（n∈N^*）．

（3）设

0＜c＜

1

3

，当n=1时，

a

2

1

＝0＞2−

2

1−3c

，结论成立．当n≥2时，a_n²≥（1-（3c）^n-1）²=1-2（3c）^n-1+（3c）^2（n-1）＞1-2（3c）^n-1，所以

a

2

1

+

a

2

2

+…

a

2

n

＞n+1−

2

1−3c

，n∈

N

*

．

（1）必要性：∵a₁=0，∴a₂=1-c，

又∵a₂∈[0，1]，∴0≤1-c≤1，即c∈[0，1]

充分性：设c∈[0，1]，对n∈N^*用数学归纳法证明a_n∈[0，1]

当n=1时，a₁=0∈[0，1]．假设a_k∈[0，1]（k≥1）

则a_k+1=ca_k³+1-c≤c+1-c=1，且a_k+1=ca_k³+1-c≥1-c=≥0

∴a_k+1∈[0，1]，由数学归纳法知a_n∈[0，1]对所有n∈N^*成立

（2）设0＜c＜

1

3，当n=1时，a₁=0，结论成立，

当n≥2时，∵a_n=ca_n-1³+1-c，

∴1-a_n=c（1-a_n-1）（1+a_n-1+a_n-1²）

∵0＜C＜

1

3，由（1）知a_n-1∈[0，1]，所以1+a_n-1+a_n-1²≤3且1-a_n-1≥0

∴1-a_n≤3c（1-a_n-1）

∴1-a_n≤3c（1-a_n-1）≤（3c）²（1-a_n-2）≤≤（3c）^n-1（1-a₁）=（3c）^n-1

∴a_n≥1-（3c）^n-1（n∈N^*）

（3）设0＜c＜

1

3，当n=1时，

a21＝0＞2−

2

1−3c，结论成立

当n≥2时，由（2）知a_n≥1-（3c）^n-1＞0

∴a_n²≥（1-（3c）^n-1）²=1-2（3c）^n-1+（3c）^2（n-1）＞1-2（3c）^n-1

∴a₁²+a₂²+…+a_n²=a₂²+…+a_n²＞n-1-2[3c+（3c）²+…+（3c）^n-1]

=n-1-2×

3c[1−(3c)n−1]

1−3c

=n-1-2×

3c−(3c)n

1−3c

=n+1−

2(1−(3c)n)

1−3c＞n+1−

2

1−3c

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选用证明方法．