Question

如图1所示，在正方形ABCD中，AB=1，AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与

Answer 1

解题思路：（1）根据等腰三角形的三线合一进行证明，能够熟练运用等腰直角三角形的性质和切线长定理发现G为线段EF的中点；

（2）根据切线长定理、正方形的性质得到有关的线段用x，y表示，再根据勾股定理建立函数关系式．

（3）结合（2）中的函数关系式，求得x的值．分两种情况分别分析，根据切线长定理找到角之间的关系，从而发现正方形，根据正方形的性质得到两个角对应相等，从而证明三角形相似．

（1）证明：∵∠DEF=45°，

∴∠DFE=90°-∠DEF=45°．

∴∠DFE=∠DEF．

∴DE=DF．

又∵AD=DC，

∴AE=FC．

∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，

∴AD切圆B于点A．

同理：CD切圆B于点C．

又∵EF切圆B于点G，

∴AE=EG，FC=FG．

∴EG=FG，即G为线段EF的中点．

（2）根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，

根据勾股定理，得：

（x+y）²=（1-x）²+（1-y）²

∴y=[1−x/1+x]（0＜x＜1）．

（3）当EF=[5/6]时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，

即x+[1−x/1+x]=[5/6]，

解得x₁=[1/3]，x₂=[1/2]．

经检验x₁=[1/3]，x₂=[1/2]是原方程的解．

①当AE=[1/2]时，△AD₁D∽△ED₁F，

证明：设直线EF交线段DD₁于点H，由题意，得：

△EDF≌△ED₁F，EF⊥DD₁且DH=D₁H．

∵AE=[1/2]，AD=1，

∴AE=ED．

∴EH∥AD₁，∠AD₁D=∠EHD=90°．

又∵∠ED₁F=∠EDF=90°，

∴∠FD₁D=∠AD₁D．

∴D₁F∥AD，

∴∠ADD₁=∠DD₁F=∠EFD=45°，

∴△ED₁F∽△AD₁D．

②当AE=[1/3]时，△ED₁F与△AD₁D不相似．

点评：

本题考点： 切线的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定．

考点点评： 此题综合运用了切线长定理、相似三角形的判定和性质；能够发现正方形，根据正方形的性质进行分析证明．