Question

椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2=a，求证△F1MF2的面积为b2

Answer 1

解题思路：先设|MF₁|=m，|MF₂|=n，则根据椭圆的性质可知m+n=2a，两边平方可得mn的表达式，再根据余弦定理求得cosα，把mn代入，即可求得mn=

b

2

cos

2

α

2

，最后根据三角形面积公式求得△F₁MF₂的面积，化简后原式得证．

设|MF₁|=m，|MF₂|=n，则m+n=2a，

∴m²+n²+2mn=4a^2，
在△△F₁MF₂中根据余弦定理可知cosα=

m2+n2−4c2

2mn=

4(a2−c2)−2mn

2mn=

2b2−mn

mn

∴mn=

2b2

cosα+1=

2b2

2cos2

α

2=

b2

cos2

α

2

∴△F₁MF₂的面积为

1

2mnsinα=

b22sin

α

2cos

α

2

2cos2

α

2=b²tan

a

2

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了椭圆的基本性质及余弦定理的应用．属基础题．