Question

圆内接锐角三角形ABC,分别连接AO、BO、CO交BC、AC、AB于D、E、F,求证1/AD+1/BE+1/CF=2/R

Answer 1

证明：分别作三角形ABC和三角形OBC的高AH和OG

则 AH//OG

所以 OD/AD=OG/AH

因为 三角形OBC的面积/三角形ABC的面积＝OG/AH

所以 三角形OBC的面积/三角形ABC的面积＝OD/AD

同理 三角形OAC的面积/三角形ABC的面积＝OE/BE

三角形OAB的面积/三角形ABC的面积＝OF/CF

三式相加可得：OD/AD+OE/BE+OF/CF=1

因为 OD/AD=(AD--AO)/AD=1--AO/AD

OE/BE=1--BO/BE

OF/CF=1--CO/CF

所以 （1--AO/AD)+(1--BO/BE)+(1--CO/CF)=1

即：AO/AD+BO/BE+CO/CF=2

因为AO=BO=CO=R

所以 R/AD+R/BE+R/CF=2

即：1/AD+1/BE+1/CF=2/R.