解题思路：（1）根据已知条件，可知要证四边形ABCD为平行四边形，只需再证OA=OC，只需证△AOB≌△COD即可；
（2）根据已知条件，可知要证四边形ABCD是菱形，只需证AC⊥BD即可；
（3）要证四边形A1BC1D是正方形，只需证AC=BD即可．
（1）证明：∵AC与BD相交于点O，
∴∠AOB=∠COD，（1分）
在△AOB和△COD中，
∠BAO＝∠DCO
∠AOB＝∠COD
OB＝OD
∴△AOB≌△COD，（2分）
∴OA=OC，（3分）
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形（4分）
（2）四边形ABCD是菱形．（5分）
因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形．（6分）
（或对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
（3）四边形A1BC1D是正方形（7分）
因为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．（8分）
（或对角线相等的菱形是正方形）
点评：
本题考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定．
考点点评： 本题考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，以及它们之间的联系．