垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的实质可以理解为：一条直线,如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦,那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦,(4)平分弦所对的劣弧,(5)平分弦所对的优弧(如图所示)．
如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个,就可得到九个逆命题,并能证明它们都是真命题．教科书把较重要的作为推论l,而其余的作为练习题.总之,一条直线,如果它五个性质中的任何两个成立,那么它也一定具有其余三个性质．
推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,
推论1的实质是：一条直线(如图)
(1)若满足：i)经过圆心,ii)平分弦,则可推出:iii)垂直于弦,iv)平分弦所对的劣弧,v)平分弦所对的优弧．
(2)若满足：i)垂直于弦,ii)平分弦.则可推出：iii)经过圆心,iv)平分弦所对的劣弧,v)平分弦所对的优弧．
(3)若满足；i)经过圆心,ii)平分弦所对的一条弧,则可推出：iii)垂直于弦,iv)平分弦,v)平分弦所对的另一条弧．
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等．
如图中,若AB‖CD,则AC＝BD
注意：在圆中,解有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线.
三、例题分析：
例1．如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,过A,B向CD引垂线,垂足分别为E,F,求证：CE=DF.
证明：过O作OM⊥CD于M,
∴CM=DM,
∵AE⊥CD,BF⊥CD,
∴AE//OM//FB,
又∵O是AB中点,
∴M是EF中点（平行线等分线段定理）,
∴EM=MF,
∴CE=DF.
说明：此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题.由于C、D两点是轴对称点,欲证CE=DF,那么E,F也必是轴对称点,由于E,F是垂足,那么E,F也应关于某条垂线成轴对称点,这样,这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴.
例2．已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,⊙O的半径等于6cm,O点到BC的距离为2cm,求AB的长.
分析：因为不知道△ABC是锐角三角形,还是钝角三角形（由已知分析,△ABC不会是直角三角形,因为若是直角三角形,则BC为斜边,圆心O在BC上,这与O点到BC的距离为2cm矛盾）,因此圆心有可能在三角形内部,也可能在三角形外部,所以需分两种情况进行讨论：
（1）假若△ABC是锐角三角形,如图,由AB=AC,
可知,,∴点A是弧BC中点,
连结AO并延长交BC于D,由垂径推论
可得AD⊥BC,且BD=CD,这样OD=2cm,
再连结OB,在Rt△OBD中OB=6cm,
可求出BD的长,则AD长可求出,
则在Rt△ABD中可求出AB的长.
（2）若△ABC是钝角三角形,如图,
连结AO交BC于D,先证OD⊥BC,
OD平分BC,再连结OB,由OB=6cm,
OD=2cm,求出BD长,然后求出AD的长,
从而在Rt△ADB中求出AB的长.
（1）连结AO并延长交BC于D,连结OB,
∵AB=AC,
∴ ,∴AD⊥BC且BD=CD,
∴OD=2,BO=6,
在Rt△OBD中,由勾股定理得：BD===4,
在Rt△ADB中,AD=OA+OD=8,
由勾股定理可得：AB===4(cm)
（2）同（1）添加辅助线求出BD=4,
在Rt△ADB中,AD=AO-OD=6-2=4,
由勾股定理可得：AB===4(cm),
∴AB=4cm或4cm.
说明：凡是与三角形外接圆有关的问题,一定要首先判断三角形的形状,确定圆心与三角形的位置关系,防止丢解或多解.
例3．已知如图：直线AB与⊙O交于C,D,且OA=OB.求证：AC=BD.
证明：作OE⊥AB于点E,
∴CE=ED,
∵OA=OB,
∴AE=BE,
∴AC=BD.
请想一下,若将此例的图形做如下变化,将如何证明.
变化一,已知：如图,OA=OB,求证：AC=BD.
变化二：已知如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,求证：AC=BD.
说明：这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距,利用垂径定理进行证明,所变化的是A,B两点位置.
例4．如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1cm,EB=5cm,∠DEB=600,求CD的长.
作OF⊥CD于F,连结OD,
∵AE=1,EB=5,
∴AB=6,∴OA==3,
∴OE=OA-AE=3-1=2,
在Rt△OEF中,
∵∠DEB=600,
∴∠EOF=300,∴EF=OE=1,
∴OF==,
在Rt△OFD中,OF=,OD=OA=3,
∴DF===(cm),
∵OF⊥CD,∴DF=CF,
∴CD=2DF=2(cm)
说明：因为垂径定理涉及垂直关系,所以就可出现与半径相关的直角三角形,求弦长,弦心距,半径问题,常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形,用其性质来解决问题,因而,在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线,然后用垂径定理来解题.