Question

已知函数f(x)=x^2-2MX+M+1在区间【0,1】上有最小值-2,求M的值

Answer 1

f(x)=x^2-2MX+M+1=(x-m)^2-m^2+m+1,对称轴x=m,开口向上

当m≤0时,【0,1】在对称轴右,单调增,最小值f(0)=m+1=-2,m=-3；

当0＜m＜1时,对称轴在【0,1】区间内,最小值=极值=-m^2+m+1=-2,m=(1±根号13)/2,不符合0＜m＜1的条件,无解；

当m≥1时,【0,1】在对称轴左,单调减,最小值f(1)=1-2m+m+1=-2,m=4.

综上：m=-3 ,或4