Question

证明：若函数f(x)∈C[0,+∞],且lim(x->+∞)f(x)=A,则lim(x->+∞)[1/x*∫(0->x)

Answer 1

首先,f(x)∈C[0,+∞),且当x->+∞,f(x)->A.所以函数有界,即|f(x)|≤M.

对任意ε>0,存在X0>0,当x>X0,|f(x)-A|X1,MX0/xX1,

|(∫f(t)dt)/x-A|≤|∫(f(t)-A)dt|/x≤|∫(f(t)-A)dt|/x+∫|f(t)-A)|dt/x≤MX0/x+ ε/2