解题思路:(I)利用导数的运算法则即可得出f′(x),分别解出f′(x)=0和f′(x)>0和f′(x)<0即可得出其单调区间、极值;
(II)设F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4,因此F(x)≥0在[0,+∞)恒成立⇔F(x)min≥0,x∈[0,+∞).
利用导数得出F′(x),通过对a分类讨论,利用其单调性即可.
(I)f′(x)=3x2+4x+1,令f′(x)=0,
解得x1=−1或x2=−
1
3.
列表如下:
x (-∞,-1) -1 (−1,−
1
3) −
1
3 (−
1
3,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数∴当x=-1时,f(x)取得极大值为-4;
当x=−
1
3时,f(x)取得极小值为−
112
27.
(II)设F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4,
∵F(x)≥0在[0,+∞)恒成立⇔F(x)min≥0,x∈[0,+∞),
若2-a≥0,显然F(x)min=4>0,
若2-a<0,F′(x)=3x2+(4-2a)x,令F′(x)=0,解得x=0或x=
2a−4
3,
当0<x<
2a−4
3时,F′(x)<0;当x>
2a−4
3时,F′(x)>0.
∴当x∈(0,+∞)时,F(x)min=F(
2a−4
3)≥0,即(
2a−4
3)3−(a−2)(
2a−4
3)2+4≥0,
∴2<a≤5,
当x=0时,F(x)=4满足题意.
综上所述a的取值范围为(-∞,5].
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论得出思想方法等是解题的关键.