Question

（2010•怀柔区一模）已知函数f（x）=ax3-3x2+1-[3/a]（a∈R且a≠0），试求函数f（x）的极大值与极

Answer 1

解题思路：先求f′（x）=0的值，发现需要讨论a的正负，分别判定在f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值．

由题设知a≠0，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-[2/a]），令f′（x）=0得x=0或x=[2/a]．

当a＞0时，随x的变化，f′（x）与f（x）的变化如下表：

∴f（x）_极大值=f（0）=1-[3/a]，

f（x）_极小值=f（[2/a]）=-[4

a2-

3/a]+1．

当a＜0时，随x的变化，f′（x）与f（x）的变化如下表：

∴f（x）_极大值=f（0）=1-[3/a]，

f（x）_极小值=f（[2/a]）=-[4

a2-

3/a]+1．

总之，当a＞0时，f（x）_极大值=f（0）=1-[3/a]，

f（x）_极小值=f（[2/a]）=-[4

a2-

3/a]+1；

当a＜0时，f（x）_极大值=f（0）=1-[3/a]，

f（x）_极小值=f（[2/a]）=-[4

a2-

3/a]+1．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本小题主要考查函数的导数的极值，考查利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于基础题．