这道题其实并不容易.
想了一种方法,多半不是最好的.
这里利用一个结论,有一个角为30°的直角三角形中,30°角对应的边是斜边的一半,那么,由勾股定理,很容易算出,另外一个直角边是短边的√3倍.这个结论很容易证明,只要把该三角形沿长的直角边对称过去,马上得到一个正三角形,结论就出来了.
有好几道经典的初二几何难题都会用到这一结论——在十多年前我上中学的时候就是这样（这些经典题目现在还很常见）.我个人认为这种做法不妥,这样的题目应该放在学过相似三角形或者三角函数以后在做.表面上看,所用到的知识都是初二学过的,都能够理解,但是,初二的同学,极少有能够自己独立想出来的,因为其中蕴涵的思想都是在学过三角函数或是相似形之后才能够掌握,能够看懂和能够运用还是有很大差别的.
有了这个结论,现在来做.
设O到三边的距离分别为h1 (OD)、h2 (OE)、h3 (OF),过点O做OH‖AB,OH交BC于H,过点H做HL⊥AB于L,则HL=OD=h1,∠B=60°,于是∠BHL=30°,所以BL=HL/√3=h1/√3,BH=2*BL=2*h1/√3,
同理在Rt△HOE中,HE=OE/√3=h2/√3,
于是,BE=BH+HE=2*h1/√3+h2/√3,
同理,CF=2*h2/√3+h3/√3,
AD=2*h3/√3+h1/√3,
三式相加,AD+BE+CF=√3*(h1+h2+h3),
又(h1+h2+h3)=√3*a/2,
所以,AD+BE+CF=3a/2,得欲证.
下面简要说明为什么有结论(h1+h2+h3)=√3*a/2,最简单的证明方法就是面积法.
显然,正三角形ABC的高为√3*a/2,（边长为a）,只需要做高AK,由之前的那个结论马上可得之.
于是,S△ABC=1/2*BC*AK=√3*a^2/4,
联OA、OB、OC,
S△ABO=1/2*AB*OD=a*h1/2,
S△BCO=1/2*BC*OE=a*h2/2,
S△CAO=1/2*CA*OF=a*h3/2.
S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△CAO,
即 √3*a^2/4=a*h1/2+a*h2/2+a*h3/2,
所以√3*a/2=h1+h2+h3.
证毕.