Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一个根为Sn-1，n=1，2，3，…．

Answer 1

解题思路：（1）由S_n-1是方程x²-a_nx-a_n=0的根，代入可得s_n与a_n的递推关系，令n=1可求a₁，n≥2，利用a_n=S_n-S_n-1，化简得S_nS_n-1-2S_n+1=0，构造即可证明

（2）由（1）可求

1

s

n

−1

，带入方程可求a_n，进而可求x_n，代入利用错位相减可求T_n，进而可求

（3）由（1）可求S_n，假设存在不同的正整数p，q使得S₁，S_p，S_q成等比数列，结合等比数列的性质代入可求满足条件的p，q

（1）证明∵S_n-1是方程x²-a_nx-a_n=0的根，n=1，2，3，…

∴(Sn−1)2−an(Sn−1)−an＝0

当n=1时，a₁=S₁，

∴(a1−1)2−a1(a1−1)−a1＝0，

解得S1＝a1＝

1

2，

∴[1

S1−1＝−2…（2分）

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，

∴(Sn−1)2−(Sn−Sn−1)(Sn−1)−(Sn−Sn−1)＝0

化简得S_nS_n-1-2S_n+1=0，

∴Sn＝

−1

Sn−1−2，

∴

1

Sn−1＝

1

Sn−1−1−1，

∴

1

Sn−1−

1

Sn−1−1＝−1，又

1

S1−1＝−2…（5分）

∴数列{

1

Sn−1}是以-2为首项，-1为公差的等差数列…（6分）

（2）由（1）得，

1

Sn−1＝−2−(n−1)＝−n−1

∴Sn−1＝−

1/n+1]，带入方程得，(−

1

n+1)2−an(−

1

n+1)−an＝0，∴an＝

1

n(n+1)，

∴原方程为x2−

1

n(n+1)x−

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．

考点点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及数列的错位相减求和方法的应用，等比数列的性质的综合应用．