Question

已知函数f（x）=log3x+2 （x∈[1，9]），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值是（　　）

Answer 1

解题思路：先求函数的定义域，要使函数有意义需1≤x≤9且1≤x²≤9，解得x∈[1，3]，在将所求函数展开为关于整体log₃x的函数，利用换元法，将函数转化为二次函数求最值问题，再利用配方法求二次函数最大值即可

函数y=[f（x）]²+f（x²）的定义域为{x|1≤x≤9且1≤x²≤9}=[1，3]

且y=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x+2）²+log₃（x²）+2

=（log₃x）²+6log₃x+6

设t=log₃x，∵x∈[1，3]，∴t∈[0，1]

∴y=t²+6t+6=（t+3）²-3在[0，1]上单调递增

∴y≤1+6+6=13

故选 A

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题考查了复合函数定义域的求法，换元法求函数的最值，对数函数和二次函数的值域的求法，转化化归的思想方法，本题易忘记求定义域而使得最值求错