Question

椭圆E：a2分之X2+Y2=1(a>1) 的离心率e=2分之根号3 直线x=2t（t>0）与椭圆E交于不同的两点M,N

Answer 1

x^2/a^2+y^2=1

e^2=1-b^2/a^2=1-1/a^2=3/4

a^2=4

故椭圆E方程是x^2/4+y^2=1.

(2)显然圆心C坐标是(2t,0),当与Y轴相切时,半径r=x=2t=MN/2.

x=2t代入椭圆方程得到y^2=1-t^2

故有MN=2根号(1-t^2)=4t

1-t^2=4t^2

t=根号5/5

(3)S(OMN)=1/2*2t*MN=t*2根号(1-t^2)=2根号(t^2-t^4)=2根号[-(t^2-1/2)^2+1/4]

故当t^2=1/2,即有t= 根号2/2时,S有最大值是2*根号1/4=1.