解题思路：（1）把m的值代入后，求出f（1），求出x=1时函数的导数，由点斜式写出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）代入m的值，把判断方程f（x）=g（x）在区间（0，+∞）上有无实根转化为判断函数h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可得到答案；
（3）把f（x）和g（x）的解析式代入不等式，整理变形后把参数m分离出来，x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，转化为实数m小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值．
（1）m=2时，f（x）=mx-[m/x]=2x-[2/x]，f′（x）=2+[2
x2，
则f′（1）=2+2=4，切点坐标为（1，0），
∴切线方程为y=4x-4；
（2）m=1时，令h（x）=f（x）-g（x）=x−
1/x−2lnx，函数h（x）的定义域为（0，+∞），h′（x）=1+
1
x2−
2
x]=
x2−2x+1
x2＝
(x−1)2
x2≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，
又h（1）=0，
故f（x）=g（x）在（0，+∞）内只有1个实数根；
（3）不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，即mx-[m/x]-2lnx＜2恒成立，也就是m（x2-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x2-1＞0，则当x∈（1，e]时，m＜
2x+2xlnx
x2−1恒成立，
令G（x）=
2x+2xlnx
x2−1，只需m小于G（x）的最小值，
由G′（x）=
(2+2lnx+2)(x2−1)−(2x+2xlnx)•2x
(x2−1)2=
−2(x2lnx+lnx+2)
(x2−1)2，
∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴当x∈（1，e]时G′（x）＜0，
∴G（x）在（1，e]上单调递减，
∴G（x）在（1，e]的最小值为G（e）=
4e
e2−1，
则m的取值范围是m＜
4e
e2−1．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数零点的判断方法，考查了数学转化思想，训练了利用分离变量法解决恒成立的问题，综合性较强，运算量较大．