证明：因为a＞0,b＞0
2ab
a+b
a+b
2
＝
4aba22abb2
2(a+b)
＝
(ab)2
2(a+b)
≤0
2ab
a+b
≤
a+b
2
,
当且仅当a=b时取等号．(
a+b
2
)2(
a2+b2
2
)2＝
a2+2ab+b2
4
a2+b2
2
＝
a2+2abb2
4
＝
(ab)2
4
(
a+b
2
)2(
a2+b2
2
)2≤0(
a+b
2
)2≤(
a2+b2
2
)2
a+b
2
≤
a2+b2
2
,
当且仅当a=b时取等号．
综上知：
2ab
a+b
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
,当且仅当a=b时等号成立．