Question

给出下列五个命题：①函数f(x)＝x+2x+1的图象的对称中心是点（1，1）；②函数y=sinx在第一象限内是增函数；③

Answer 1

解题思路：①将函数分离常数，利用图象变换可得其对称中心；②举反例即可否定此选项，例如举[π/3]，[13π/6]都是第一象限角；③利用作差比较法证明其正确；④在正方体中寻找反例即可否定此结论；⑤由椭圆离心率的定义e=[c/a]，推导出当椭圆的离心率e越接近于0时，椭圆长轴2a就越接近于短轴2b，椭圆的形状就越接近于圆

∵f(x)＝

x+2

x+1=[1/x+1+1，∴图象为y=

1

x]图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴对称中心是（-1，1）

∴①错误

[π/3]，[13π/6]都是第一象限角，且[π/3＜

13π

6]，但sin[π/3]＞sin[13π/6]，∴不能说函数y=sinx在第一象限内是增函数．

∴②错误

∵[a+m/b+m−

a

b]=[ab+bm−ab−am

b(b+m)=

m(b−a)

b(b+m)，∵，b，m均是负数，且a＞b，∴

a+m/b+m−

a

b]＞0∴[a+m/b+m＞

a

b]

∴③正确

例如在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC∥平面A₁C₁，AC⊥BD，BD⊆平面BDC₁，但平面A₁C₁与平面BDC₁并不垂直

∴④错误

e²=

c2

a2=

a2−b2

a2=1-

b2

a2，当e越接近于0时，

b2

a2就越接近1，a就越接近b，椭圆的形状就越接近于圆，

∴⑤正确

故答案为③⑤

点评：

本题考点： 平面的基本性质及推论；函数的图象；不等关系与不等式；正弦函数的单调性；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题通过多选的形式，考查了三角函数，图象变换，不等式证明，空间线面关系，椭圆等基础知识，属于基础题